6 Simulationsergebnisse

6 Simulationsergebnisse

6.1 Überblick

Dieses Kapitel stellt die Ergebnisse der einzelnen Optimierungsverfahren vor. Zunächst werden die Ergebnisse der linearen Filterung betrachtet. Der anschließende Teil widmet sich der Optimierung der Medianmasken. Im darauffolgenden Abschnitt werden dann die Optimierungsergebnisse für lineare Filter in Polyphasenrealisierung diskutiert. Abschließend werden die unterschiedlichen Ergebnisse mit einander verglichen.

Als Testbilder kam in progressiver Form vorliegendes Bildmaterial der Größe 512 × 512 Pixel zum Einsatz. Alle Optimierungsstrategien wurden auf das Testbild "Lena" (Abbildung 6.1) angewendet. Zum Vergleich wurden auch einige Simulationen mit der Vorlage "Barbara" (Abbildung 6.2) durchgeführt. Wegen der in unterschiedliche Richtungen verlaufenden hochfrequenten Bildanteile ist die Interpolation dieses Motivs außerordentlich schwierig. Das Ausgangsbild enthält schon starken Alias, der durch die Interpolation nicht entfernt werden kann.


Lena Barbara
Abbildung 6.1: Testbild "Lena" Abbildung 6.1: Testbild "Barbara"

Die Simulationen wurden auf mehreren Rechnern, die mit Pentium-II-Prozessoren und einer Taktfrequenz von 266 MHz ausgestattet waren, durchgeführt.

6.2 Simulation mit linearen Filtern

Die Simulationen wurden mit unterschiedlich großen Filtermasken auf das Testbild "Lena" angewendet. Für eine Maske der Größe 5 × 5 wurde das Schema aus Abbildung 5.2 verwendet. Masken mit einer Größe von 9 × 9 benutzten ein analoges Muster. Für die kleinere Maske wurden sechs freie Filterkoeffizienten xi benötigt, für die größere 15. Als Bewertungsfunktion wurde der in Gleichung (5.1) beschriebene PSNR verwendet.

6.2.1 Gradientenstrategie

Die Gradientenstrategie dient als Referenzmethode für die Optimierungsverfahren. Abbildung 6.3 zeigt den Verlauf der Bewertungsfunktion. Verwendet wurde eine Gradientenstrategie mit einer Filtergröße von 5 × 5, was sechs unterschiedlichen Koeffizienten entspricht. Die Schrittweite des Differenzenquotienten δ betrug 0,00005, die Startschrittweite s = 0,5 und der Streuweitenreduktionsfaktor r = 0,95. Da für jeden neuen Schritt der Dimension des Problems entsprechend viele Bewertungen der Zielfunktion durchgeführt werden mußten, kam die außerordentlich lange Laufzeit von 20420 Sekunden (5 h 40 min) zustande. Nach 9480 Schritten, also nach fast 57000 Aufrufen der Bewertungsfunktion, erreichte die Gradientenstrategie einen PSNR-Wert von 26,815 dB.


Verlauf
Abbildung 6.3: Verlauf der Gradientenstrategie

Der sprunghafte Verlauf der Kurve erklärt sich durch das in den Abbildungen 2.3 und 2.4 dargestellte Problem der richtigen Schrittweite. Bei einer zu großen Schrittweite wird im nächsten Optimierungsschritt ein besserer Wert der Zielfunktion übersprungen. Daher verbessert sich während der in den nachfolgenden Schritten stattfindenden Schrittweitenreduktion der PSNR nicht.

6.2.2 Simulated Annealing

Das Optimierungsverfahren des Simulated Annealing wurde mit verschiedenen Strategieparameterkonfigurationen getestet. Die Ergebnisse sind in Tabelle 6.1 aufgelistet. Für die Simulationen wurde eine Starttemperatur von T = 10 und N = 10 Durchläufe bis zum Erreichen des Equilibriums gewählt. Diese Parameter erwiesen sich bei Probesimulationen mit erheblich reduzierter Bildgröße als gut geeignet. Die Abbruchtemperatur ε wurde auf den Wert 0,00001 gesetzt. In der verwendeten Konfiguration mit sechs freien Koeffizienten waren die Simulationen nach 14 bis 36 Minuten abgeschlossen.


freie Koeffizienten dk α β Schrittanzahl PSNR / dB
6  0,1  0,85  0,85 804623,138
0,20,850,85309223,227
0,20,950,951453324,014
0,50,950,95549324,068
15 0,10,850,85415019,044
0,20,850,85345020,333
0,20,950,95905019,993
0,50,950,95535019,348
Tabelle 6.1: Ergebnisse des Simulated Annealing

Die Simulationen mit der größeren 9 × 9-Filtermatrix mit 15 freien Koeffizienten führten zu deutlich schlechteren PSNR-Werten. Sie lagen zwischen 3 und 4 dB unterhalb der durch eine 5 × 5-Matrix mit sechs Filterkoeffizienten erreichten Ergebnisse.

Bei den kleineren Matrizen wurden mit größeren Werten der Startstreuweite dk bessere Werte der Zielfunktion erreicht. Der PSNR läßt sich auch durch größere Abkühlungsfaktoren α und Streuweitenreduktionsfaktoren β weiter verbessern. Der beste Wert wurde mit dk = 0,5 und α = β = 0,95 erlangt. Für die größeren Filtermasken ergibt sich ein anderes Bild: Hier schnitten die Simulationen mit einem mittleren dk von 0,2 am besten ab. Der höchste Wert wurde durch dk = 0,2 und α = β = 0,85 erzielt.

In Abbildung 6.4 ist der Verlauf der Zielfunktion über die Anzahl der ausgeführten Filterevaluierungen aufgetragen. Stellvertretend wurde der Verlauf der besten verwendeten Parameterkonfiguration herausgegriffen. Die anderen Simulationen weisen eine ähnliche Entwicklung auf. Bemerkenswert ist der rapide Anstieg zu Beginn der Kurve, die danach nahezu parallel zur x-Achse verläuft.


Verlauf
Abbildung 6.4: Verlauf der Simulated-Annealing-Strategie, 6 freie Filterkoeffizienten, dk = 0,5, α = 0,95, β = 0,95

Die gleiche Kurve ist in Abbildung 6.5 noch einmal in einer anderen y-Achsen-Skalierung dargestellt. Hierbei wird ersichtlich, daß während des in Abbildung 6.4 scheinbar waagerechten Verlaufs dennoch eine leichte Verbesserung des PSNR stattfindet.


Verlauf
Abbildung 6.5: Vergrößerter Verlauf der Simulated-Annealing-Strategie aus Abbildung 6.4

Im Gegensatz zur Gradientenstrategie findet beim Simulated Annealing nur ein Aufruf der Bewertungsfunktion pro Schritt statt. Dadurch kann trotz einer zum Teil größeren Anzahl von Simulationsschritten die Suche nach einer geringeren Zahl von Filterevaluierungen beendet werden.

6.2.3 Evolutionsstrategien

Die Evolutionsstrategien wurden jeweils mit μ = 10, 15 und 20 Elternindividuen und λ = 100 Kindindividuen durchgeführt. Zusätzlich wurde das Verhalten mit der doppelten Anzahl von Kindindividuen λ = 200 bei μ = 10 untersucht. Die Optimierungsläufe wurden nach jeweils 20000 getesteten Individuen abgebrochen. Dies entspricht 100 Generationen bei den (10,200) und (10+200)-Strategien bzw. 200 Generationen bei allen anderen Strategien. Die Simulationen verwendeten jeweils unterschiedlich große Werte der Mutationskonstante τ: 0,01, 0,1 und 0,3.

(μ , λ)-Strategie

Zur Suche der optimalen Filterparameter wurden Simulationen mit verschieden großen Filtermasken durchgeführt. Ein Durchlauf mit sechs freien Koeffizienten benötigte je nach Netzwerkauslastung zwischen 50 Minuten und 1 h 35 min, ein Durchgang mit 15 Koeffizienten etwa 3 h 30 min. Die Ergebnisse der unterschiedlichen (μ , λ)-Strategien sind in Tabelle 6.2 aufgeführt.


μ λ freie Koeffizienten τ PSNR / dB μ λ freie Koeffizienten τ PSNR / dB
10 100 6  0,01 24,095 10 200 6  0,01 26,415
0,124,9250,124,619
0,323,9270,323,027
15 0,0121,184 15 0,0124,591
0,121,8550,122,351
0,322,5490,320,453
15 100 6 0,01;23,786 20 100 6 0,0123,675
0,126,1080,123,541
0,323,4870,323,292
15 0,0119,625 15 0,01;20,895
0,121,6150,120,963
0,322,1280,319,763
Tabelle 6.2: Ergebnisse der (μ , λ)-Strategie

Offensichtlich führen größere Filtermasken mit 15 freien Koeffizienten zu schlechteren Werten als die kleineren Masken. Ihr PSNR lag im Schnitt um 2 dB unterhalb des PSNR der Masken mit sechs Koeffizienten. Die besten Werte wurden von der (10,200)-Strategie erreicht. Sowohl der PSNR für Filter mit sechs freien Koeffizienten als auch der PSNR für Filter mit 15 Koeffizienten erreichte mit 26,415 dB bzw. 24,591 dB einen um 2 dB höheren Wert als die anderen überprüften (μ , λ)-Strategien. Einzig die (15,100)-Strategie konnte mit 26,108 dB einen ähnlich guten Wert erreichen.

Auffällig ist, daß die besten Simulationsergebnisse in den einzelnen Strategien zumeist mit einem mittleren τ-Wert von 0,1 erreicht wurden, der beste Wert aller untersuchten Strategien jedoch mit einem τ von 0,01 erzielt wurde. Dies bedeutet, daß die Mutationskonstante τ einen großen Einfluß auf das Simulationsergebnis hat, welcher aber keiner offensichtlichen Gesetzmäßigkeit unterliegt.

Die nachfolgende Abbildung 6.6 zeigt stellvertretend den Verlauf der Simulation der (15,100)-Strategie über 20000 Individuen. Es wurde ein τ von 0,1 gewählt. Die obere Kurve gibt den PSNR des jeweils besten Individuums einer Generation an, die untere Kurve den PSNR des schlechtesten und die mittlere Kurve den Mittelwert aller Individuen der jeweiligen Generation. Es ist erkennbar, daß sich die Bewertungsfunktionswerte nach einem anfänglich steilen Anstieg langsam einem Zielwert nähern. Der Wert des jeweils schlechtesten Individuums schwankt innerhalb eines Bereichs ohne sich erkennbar zu verbessern. Der Mittelwert verläuft parallel zum Bestwert, unterliegt aber den gleichen Schwankungen wie der schlechteste Wert.


Verlauf
Abbildung 6.6: Verlauf der (15,100)-Strategie, 6 freie Filterkoeffizienten, τ = 0,1

Der Verlauf des besten Wertes der (15,100)-Strategie ist für die Individuen 10000 bis 20000 in Abbildung 6.7 noch einmal vergrößert dargestellt. Die zwischenzeitlichen Einbrüche der Zielfunktion erklären sich dadurch, daß die Elternindividuen durch ihre Kinder, welche auch einen schlechteren Funktionswert aufweisen können, ersetzt werden.


Verlauf
Abbildung 6.7: Vergrößerter Ausschnitt der (15,100)-Strategie aus Abbildung 6.6

(μ + λ)-Strategie

Die Simulationen der (μ + λ)-Strategie wurden mit den gleichen Parametern wie die (μ , λ)-Strategien durchgeführt. Infolge des ähnlichen Optimierungsalgorithmus wurden die gleichen Laufzeiten von 50 Minuten bis 3 h 30 min wie bei den (μ , λ)-Strategien benötigt. Die Simulationsergebnisse sind in Tabelle 6.3 aufgelistet. Auch hierbei erreichte die Strategie mit 200 Kindindividuen mit 26,274 dB das beste Ergebnis. Im Gegensatz zur (μ , λ)-Strategie war hier das beste Resultat der (15+100)-Strategie schlechter als die besten Resultate der jeweils unter-suchten (λ + μ)-Strategien. Bemerkenswert sind die äußerst niedrigen PSNR-Werte die bei zwei (10+100)-Strategien und einer (15+100)-Strategie erreicht wurden. Diese Werte wurden schon nach wenigen Generationen erreicht ohne daß eine weitere Verbesserung eintrat.


μ λ freie Koeffizienten τ PSNR / dB μ λ freie Koeffizienten τ PSNR / dB
10 100 6  0,01 24,095 10 200 6  0,01 26,415
0,124,9250,124,619
0,323,9270,323,027
15 0,0121,184 15 0,0124,591
0,121,8550,122,351
0,322,5490,320,453
15 100 6 0,01;23,786 20 100 6 0,0123,675
0,126,1080,123,541
0,323,4870,323,292
15 0,0119,625 15 0,01;20,895
0,121,6150,120,963
0,322,1280,319,763
Tabelle 6.3: Ergebnisse der (μ + λ)-Strategie

Abbildung 6.8 zeigt beispielshalber den Verlauf der (15+100)-Strategie mit 6 freien Koeffizienten und τ = 0,1. Es ist ein ähnliches Verhalten der Simulation wie bei den (μ , λ)-Strategien erkennbar. Auch hier flacht die Kurve nach einem anfänglichen steilen Anstieg ab. Sie steigt dabei aber konstant an. Dies wird durch die "Unsterblichkeit" der besten Individuen hervorgerufen.


Verlauf
Abbildung 6.8: Verlauf der (15+100)-Strategie, 6 freie Filterkoeffizienten, τ = 0,1

Vergleich der beiden Evolutionsstrategien

Die Bewertungsfunktionswerte der (μ , λ)- und (μ + λ)-Strategien liegen bis auf die "Ausfälle" der (μ + λ)-Strategie in ähnlichen Größenordnungen zwischen 20 dB und 26 dB. Die Bestwerte in den einzelnen Strategien wurden mit den gleichen Parametern erzielt. Ansonsten erreichte bei gleichen Strategieparametern in einigen Fällen die (μ , λ)-Strategie die höheren PSNR-Werte in anderen Fällen die (μ + λ)-Strategie. Ein großer Nachteil der Evolutionsstrategie ist, daß scheinbar keine Gesetzmäßigkeit zwischen dem Wert der Mutationskonstanten τ und der erzielten Güte existiert. Obwohl zumeist ein mittlerer Wert von τ das beste Ergebnis lieferte, wurden die besten Werte mit dem kleinsten überprüften τ-Wert erreicht.

Wie Abbildung 6.7 zeigt, treten auch nach über 15000 generierten Individuen immer noch sprunghafte Verbesserungen der Zielfunktion auf. Diese Sprünge kommen zum Teil nach längeren Phasen vor, in denen nur ein geringer Anstieg erfolgt. Daher erscheint es sinnvoll, die Evolutionsstrategien über eine noch höhere Anzahl von Individuen zu testen, da dadurch eine Steigerung des Optimierungsergebnisses zu erwarten ist.

6.2.4 Differential Evolution

Zur Überprüfung des Differential-Evolution-Verfahrens wurden fünf verschiedene Strategien verwendet1. Wie bei den Evolutionsstrategien wurden als maximale Anzahl 20000 Individuen gewählt. Das entspricht bei einer Populationsgröße von NP = 100 Individuen 200 Generationen. Die Laufzeiten der Simulationen lagen in derselben Größenordung wie die der Evolutionsstrategien, zwischen 50 Minuten und 1 h 30 min mit sechs Filterkoeffizienten. Die Ergebnisse sind in der nachfolgenden Tabelle 6.4 aufgeführt.


DE-Strategie freie Koeffizienten Crossover Strategie F CR PSNR / dB
DE/best/16binominal0,95126,834
DE/rand/16binominal0,95124,423
exponentiell0,95124,423
binominal0,950,7512,429
DE/rand-to-best6binominal0,95126,834
binominal0,95115,578
binominal0,850,526,831
binominal0,650,826,834
15binominal0,95113,129
binominal0,950,8-4,574
binominal0,850,8-4,574
DE/best/26binominal0,9518,707
DE/rand/26binominal0,9512,901
Tabelle 6.4: Ergebnisse der Differential-Evolution-Strategie

Da sich bei Probesimulationen schon herausgestellt hatte, daß die 9 × 9 großen Filtermasken zur Erzeugung vergleichbarer Ergebnisse eine wesentlich höhere Rechenzeit benötigen, wurden hauptsächlich Durchläufe mit einer kleineren 5 × 5-Matrix gestartet. Des weiteren lieferte im Vorfeld der Simulationen die DE/rand-to-best-Strategie sehr gute Ergebnisse, so daß hierfür auch die meisten Simulationen erfolgten. Als Standardstrategie wurde ein Gewichtungsfaktor F = 0,95 und ein Crossover-Faktor CR = 1 gewählt.

Mit der größeren Filtermaske lieferten die Simulationen in der verwendeten Standardkonfiguration sehr schlechte Ergebnisse. Sie konnten bei einem Crossover-Faktor, der kleiner als eins ist, nicht einmal einen PSNR von 0 dB erreichen. Auch die beiden Strategien, welche zwei Differenzvektoren zur Bildung neuer Individuen verwenden, DE/best/2 und DE/rand/2, konnten nur äußerst niedrige Werte erzielen. Bei Verwendung einer 5 × 5-Matrix erreichten sowohl die DE/best/1 als auch die DE/rand-to-best-Strategie mit 26,834 dB das höchste Ergebnis aller überprüften Optimierungsstrategien mit linearer Filterung. Die erzielten PSNR-Größen der DE/rand/1-Strategie lagen um 2 dB darunter. Bemerkenswert ist, daß drei verschiedene Konfigurationen auf den gleichen Wert kommen.

Vorraussetzung für das Erreichen guter Ergebnisse ist offenbar ein Crossover-Faktor der Größe CR = 1. Die Simulationen mit einem CR von weniger als eins fielen deutlich schlechter aus. So erreichte die DE/rand/1-Strategie mit einem CR von 0,75 nur noch einen halb so großen PSNR wie mit CR = 1. Der Gewichtungsfaktor F spielt eine untergeordnete Rolle. So sind die Ergebnisse bei der DE/rand-to-best-Strategie mit einem F = 0,65 und einem F von 0,95 bis zur fünften Nachkommastelle identisch. Des weiteren hat die Crossover-Wahl keinerlei Einfluß auf das Ergebnis. Die DE/rand/1-Strategie erzielte mit einer binominalen Cross over-Strategie den bis zur letzten ermittelten Nachkommastelle gleichen PSNR-Wert wie unter Verwendung einer exponentialen Auswahlmethode.

Da die Komplexität der Optimierung mit der Anzahl der freien Koeffizienten zunimmt, wurde für eine 9 × 9-Maske mit 15 freien Koeffizienten eine Simulation mit doppelter Populationsgröße und einer wesentlich höheren Individuenzahl durchgeführt. Die verwendete DE/best/1-Strategie mit NP = 200 und 100000 zu überprüfenden Individuen erreichte einen PSNR von 27,437 dB. Dieser Wert liegt 0,6 dB über den von den anderen Optimierungsstrategien erreichten Werten, hat aber die fünffache Laufzeit der Simulation zur Folge.

Der Verlauf der getesteten DE/best/1-Strategie mit sechs freien Koeffizienten ist in Abbildung 6.9 zur Verdeutlichung aufgezeichnet. Genauso wie in den vorausgegangenen Graphen stellt die obere Kurve das beste ermittelte Individuum dar, während die untere das schlechteste und die mittlere den Mittelwert der jeweiligen Generation repräsentieren. Auffällig sind die sprunghaften Anstiege der Zielfunktion. Nach einigen Generationen ohne Verbesserung steigt der PSNR innerhalb einer Generation zu Teil um mehrere dB. Bemerkenswert ist die allmähliche Annäherung der drei Kurven an einen gemeinsamen Wert. Diese Konvergenz läßt sich dadurch erklären, daß die Distanzen zwischen den Parametervektoren im Verlauf der Optimierung immer geringer werden.


Verlauf
Abbildung 6.9: DE/best/1-Strategie, 6 freie Filterkoeffizienten, Crossover = binominal,
NP = 100, F = 0,95, CR = 1

Abbildung 6.10 zeigt einen vergrößerten Ausschnitt des Verlaufs der DE/best/1-Strategie. Auch in der vergrößerten Ansicht sind die Sprünge der Bewertungsfunktion erkennbar. Zum Ende laufen alle drei Kurven in den gleichen Wert, ohne daß eine weitere Steigerung des PSNR zu erkennen wäre.


Verlauf
Abbildung 6.10: DE/best/1-Strategie aus Abbildung 6.9 vergrößert dargestellt

6.2.5 Vergleich der Simulationsergebnisse bei linearer Filterung

Die nachfolgende Tabelle 6.5 gibt die auf drei Nachkommastellen gerundeten Werte des PSNR und der Filterkoeffizienten der 5 × 5-Matrix an, die durch die besten Parameterkonfigurationen der einzelnen Optimierungsstrategien berechnet wurden.


OptimierungsverfahrenPSNR / dBx0x1x2x3x4x5
Gradientenstrategie 26,815  0,995  0,552  0,001  0,250  -0,009  -0,0265 
Simulated Annealing24,0680,5880,308-0,1660,2510,2690,096
(10,200)-Strategie26,4150,8270,4140,0790,251-0,0350,044
(10+200)-Strategie26,4750,9390,437-0,0640,2500,0790,032
(DE/best/126,8341,0000,5260,0000,250-0,000-0,013
Tabelle 6.5: Durch lineare Filterung ermittelte Filterkoeffizienten

Die Gradientenstrategie erreichte ein sehr gutes Ergebnis, welches geringfügig niedriger ist als das der Differential-Evolution-Strategie. Dies ist dadurch begründet, daß es sich bei der Interpolation mittels linearer Filterung um ein unimodales Problem handelt. Die besten Ergebnisse der Evolutionsstrategien lagen um etwa 0,4 dB unterhalb dieser Werte. Das Simulated Annealing lieferte das schlechteste Resultat aller überprüften Optimierungsverfahren. Die anderen Verfahren übertreffen es um mehr als 2 dB bzw. 4 dB.

Die durch das Simulated Annealing berechneten Filterkoeffizienten weisen den anderen Strategien gegenüber große Unterschiede auf. Gradientenstrategie und Differential Evolution erzeugen einander sehr ähnliche Filtermasken.

In Abbildung ist 6.11 die mit Hilfe der DE/best/1-Strategie erstellte Filtermaske mit auf zwei Nachkommastellen gerundeten Koeffizienten dargestellt. Die durch die Evolutionsstrategien ermittelten Koeffizienten x0 und x1 sind zwischen 0,1 und 0,2 niedriger. Auffallend ist, daß die äußeren Koeffizienten kaum Einfluß auf das Filter haben. Die Gesamtsumme der Koeffizienten ergibt etwa vier.


0 -0,01 0 -0,01 0
 -0,01 0,25 0,53 0,25 -0,01 
00,531,00,530
-0,010,250,530,25-0,01
0-0,010-0,010
Abbildung 6.11: Gerundete Filtermaske, DE/best/1-Strategie

Abbildung 6.12 zeigt die durch die (10,200)-Strategie mit einer größeren 9 × 9-Matrix ermittelte Filtermaske. Die Koeffizienten sind auf eine Stelle gerundet. Auch hierbei entsteht um den Mittelpunkt eine ähnliche Verteilung wie bei der kleineren Matrix. Die Faktoren sind aber niedriger. Aufgrund der höheren Dimension der Problemstellung erhöht sich hierbei die Größe des verfügbaren Parameterraums beträchtlich, so daß das Auffinden des Optimums erschwert wird. Das erklärt die schlechteren Interpolationsergebnisse, welche durch die größeren Filtermasken erzielt wurden. In Abbildung 6.13 ist die Maske noch einmal in einer dreidimensionalen Darstellung abgebildet.


 0,1  0,0  0,1  0,0  -0,1  0,0  0,1  0,0  0,1 
0,00,00,00,00,00,00,00,00,0
0,10,00,10,10,10,10,10,00,1
0,00,00,10,20,40,20,10,00,0
-0,10,00,10,40,60,40,10,0-0,1
0,00,00,10,20,40,20,10,00,0
0,10,00,10,10,10,10,10,00,1
0,00,00,00,00,00,00,00,00,0
0,10,00,10,0-0,10,00,10,00,1
Abbildung 6.12: Koeffizienten der (10,200)-Strategie mit 9 × 9-Maske, τ = 0,01

Darstellung
Abbildung 6.13: Dreidimensionale Darstellung der Koeffizienten aus Abbildung 6.12

Die durch die Gradientenstrategie ermittelten Werte sind sehr hoch, aber aufgrund der Eigenschaften dieses Optimierungsverfahrens bleibt der Anwendungsbereich auf unimodale Problemstellungen begrenzt. Auch steigt die Bewertungsfunktion so langsam an, daß ein vorzeitiger Abbruch des Programmablaufs nur mäßige Ergebnisse liefert. Das Simulated Annealing erreichte hingegen schon nach wenigen hundert Schritten PSNR-Werte, die dicht am maximal erreichten Wert der Strategie lagen. Die Unterschiede zwischen den interpolierten Bildern von weniger als 0,1 dB sind mit bloßem Auge nicht festzustellen. Zudem war die Gesamtlaufzeit des Simulated Annealing die kürzeste aller verwendeten Optimierungsverfahren. Die Kurven der Evolutionsstrategien zeigen einen ähnlichen Verlauf wie die des Simulated Annealing, aber ihr Anstieg ist flacher und zum Ende steigen sie noch spürbar an. Bei Verwendung einer höheren Individuenzahl ließen sich die Ergebnisse noch weiter steigern. Die untersuchten Differential-Evolution-Verfahren stiegen von Sprüngen unterbrochen nahezu linear an, bis sie etwa ab dem 10000sten Individuum einen fast waagerechten Verlauf annahmen.

Abbildungen 6.14 und 6.15 zeigen die durch die Gradientenstrategie bzw. das Simulated Annealing erzeugten Bilder. Der niedrigere PSNR des Simulated Annealing äußert sich in einer höheren Unschärfe des Motivs.


Lena Lena
Abbildung 6.14: Interpolationsergebnis,
Koeffizienten aus Gradientenstrategie
Abbildung 6.15: Interpolationsergebnis,
Koeffizienten aus Simulated Annealing

1 Eine Erläuterung zu den einzelnen Differential-Evolution-Strategien findet sich in Kapitel 2.5.1.


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